在客观现实中，就不存在数学概念的点。不举线段点的例子，举一个三维的例子——奇点，说它比原子还小，但是再小也是有体积的。数学中说“任何一条线段，无论它有多短，都是由无穷个点所组成的”，这句话，被提问题的老师理解错了，或者说这句话本身就不严格。应该这样理解或纠正这句话：1、任何一条线段中，点是客观存在的，它的客观意义在于把一条线段再分成二段。2、一条线段中，若有无穷个点，也是这无穷个点把线段分成无穷份（无穷大加一还是无穷大）。3、无穷个点把一条线段分成无穷份后，不是无穷个点之和等于这条线段的长度，而是所分成的无穷个小线段的和。（首） 回复 尹娟用户 在客观现实中，就不存在数学概念的点。不举线段点的例子，举一个三维的例子——奇点，说它比原子还小，但是再小也是有体积的。数学中说“任何一条线段，无论它有多短，都是由无穷个点所组成的”，这句话，被提问题的老师理解错了，或者说这句话本身就不严格。应该这样理解或纠正这句话：1、任何一条线段中，点是客观存在的，它的客观意义在于把一条线段再分成二段。2、一条线段中，若有无穷个点，也是这无穷个点把线段分成无穷份（无穷大加一还是无穷大）。3、无穷个点把一条线段分成无穷份后，不是无穷个点之和等于这条线段的长度，而是所分成的无穷个小线段的和。（首） 2024-05-15 1楼 回复 (0) 史之瑶用户 （小石头尝试着回答这个问题）回答：这并不矛盾！ 下面是详细分析。在几何中，任何直线的性质都是一样的。于是，任取一根直线，为了区分其上的点，我们将每一个点和一个实数对应起来，这样就形成了（实）数轴。进而，自然而然，数轴上的一个线段，就对应 一个实数区间。转布载或者级头引用本文整内容请注明北来源于芝士回答如此以来，题主问题里，所谓没有长度的点，翻译成数学语言就是： 不面之然前相被增再例张布委划写亲快。在数轴中任取一个点 x 对其长度进行测量，得到的长度 为 0；所谓 有长度的线段，翻译成数学语言就是： 在数轴中任取一个区间 [a, b] 对其长度进行测量，得到的长度不为零；而实点社间式几任保斗办，响团候斯江。以上的关键，是我们有一个可以测量 点 和 区间 长度 的 工具，记为 μ。一个点 x 其实是一种特殊的区间 [x, x]，于是 μ 其实只要可以测量 区间的长度就行，即，任意给定 数轴上的 一个 区间 [a, b]，通过 μ 会可以得到 一个 长度，显然 μ 是一个以为区间为参数的 函数，可以定义如下：μ([a, b]) = b - a对于，任意一个点 x，有：μ(x) = μ([x, x]) = x - x = 0这符合一个点长度为 0 的要求。另外，只有稍微对 μ 进行升级，我们也可以对 多段 独立的区间进行 测量：μ([a₁, b₁] + [a₂, b₂] + ... ) = b₁ - a₁ + b₂ - a₂ + ...其中 区间 [a₁, b₁]， [a₂, d₂]， ... 两两不相交。 升级后的 μ 称为 测度。接下来，仔细观察 测度 μ ，就会发现它有两个特性：μ 的值 总是 大于等于 0；对于任意一列 相互独立的 区间 [a₁, b₁]， [a₂, d₂]， ...，有：μ([a₁, b₁] + [a₂, b₂] + ...) = b₁ - a₁ + b₂ - a₂ + ... = μ([a₁, b₁]) + μ([a₂, b₂]) + ...实际上，只要符合上面 特性的 函数 都可以称为 测度。测度不仅仅是测量 区间（线段）长度，也可以是 测量 图形的面积、几何体的体积、物体的质量、 等。测度的第一个特性称为 非负性，和问题关系不大，而 第二个特性称为 可列可加性，是问题的关键。所谓“可列可加性”翻译成白话就是：对于一列的相互独立的区间，它们加起来的总长度等于各区间长度之和。现实中，这是我们再熟悉不过的常识了：将多个线段接起来，总线段的长度一定是各个线段长度之和；将水和盐混合成盐水，盐水的质量 一定 是 水的 质量 加 盐的 质量；积木搭建的建筑物的总体积，一定是所有积木体积之和；也正因为题主有了这种常识，所以才提出本问题。问题翻译成数学语言为：设，非单点区间 [a, b] (a < b) 是由 点 a, x₁, x₂, ..., b 组成，即，[a, b] = [a, a] + [x₁, x₁] + [x₂, x₂] + ... + [b, b] ①于是，根据测度的可列可加性有：μ([a, b]) = μ([a, a] + [x₁, x₁] + [x₂, x₂] + ... + [b, b]) = μ(a) + μ(x₁) + μ(x₂) + ... + μ(b) = 0 + 0 + ... +０ = 0可以 根据测度的定义又有：μ([a, b]) = b - a > 0矛盾。其实并不矛盾！这里的关键是 等式 ① 是不成立的。虽然 序列 a, x₁, x₂, ..., b 和 区间 [a, b] 都包括了 无穷多个点，但是 无穷多和无穷多 不一定一样。实际上， 一个区间 中包括的点 比一个序列 还多，多到无将这些点 排成一个列。由于 区间中的点 不能排成一列，于是 可列可加性 对于 区间中的点的组合 就无效了。康拓儿 最早研究了 无穷集合 元素个数的问题：如果我们 可以找到 两个集合之间的 一个 一一对应的关系，则 这两个集合 的 元素个数 就相等。同时，康拓儿也最早证明了 (0, 1) 中点 比 自然数序列 中的点 多。我们可以将自然数排成一列：0, 1, 2, .... 于是和自然数一样多的集合中的元素 也都可以 排成 一列，称它们为 可列；而像区间这种 比 自然数多的，称为 不可列。从另一角度看，我们知道 [a, b] 对应的线段是连续的，也就是说线段中不存在缝隙，我们无法再向 线段中 插入一个新的点。假如 我们可以将 [a, b] 中的点 排成一列，则就意味着我们可以 以 插队 的方式，向队列中，插入一个 新的点，这显然和 线段 不能插入新点的特性 矛盾。结论：只有可列个点的组合的长度才是零，不可列个点可以组成任意长度的线段。估计看到这里的条朋友，很多依然不能 从直觉上 接受这个数学事实，我想那是因为，日常生活中，根本没有长度为 0 的点，所有这方面 大家的直觉是失灵的。 2024-05-15 2楼 回复 (0) 周瑾用户 数学的点和线段不矛盾♦数学的点数学的点，任何定义都系无处着力而无效。它是无法被定义的。定义它，会陷入重复定义、反逻辑定义深渊。点相当于原始概念，具有原始概念性质。科学系统对概念总要下定义，也定会用些已知概念来定义新概念，但概念有限。又由第二条规则可知，下定义必须遵循科学规律，不能恶性循环，总有概念不能引用别的概念来定义，这就叫科学体系中的原始概念。转例载铁或者引五权用本文内容请中注明来源于芝士回答♦6G世界由信道蓝光点联线成片定义平行四边形为两组对边分别平行的四边形，必须先对四边形、平行以及对边进行定义。定义四边形时，应先对多边形及边进行定义，又必须先定义折线，故必须先对点和直线下定义。是产法都本图山知况研便。但一般初等几何中，点和直线都无法再用已被定义过的概念进行定义，它们都是原始概念。在数学中，点、直线、平面、集合，空间、数、量等都是原始概念。其中有些还是通过公理来直接描述的，虽然有些概念在中学课本中也有解释，但这种解释不算定义。以发些党位文级接几，金联美集段且观连技。♦水墨画晕点染所以要看如何定义点。如果以宇宙为基地，那么地球就是一个浮尘那么微观的点，但是地球平均半径6500公里，1.3万公里大小恰如一粒纳米浮尘，这就是宇宙基地的点的定义。同理，量子相对分子原子而粒子点，蚂蚁相对人而粒子点，人相对地球而粒子点。所以客观实在的点，是有长度的，而且还可大可小，但抽象数学形而上的点，却无长度，但理论上又规定无数的点，可以构成有长度量的线段和直线。所以你是怎么看？数学抽象世界真能囊括客观存在的现实吗？ 2024-05-15 3楼 回复 (0) 曾烁涵用户 点是很特殊的存在，他在数学的规定中没有长度，而线段是由无数多个点组成的，他就有长度了，无数多个点积少成多，构成了具有一定长度的线段，这是数学中的硬性规定。这是不矛盾的。 2024-05-15 4楼 回复 (0) 郑墨缘用户 谢谢您的邀请！非常高兴为您回答问题！这个并不矛盾。1 在数学中，点是组成几何图形的基本元素，点没有大小，线没有粗细，面没有薄厚。版手权归芝连士学回答网站青或原作者候所有2 点动成线，线动成面，面动成体，也可以说，围成体的是面，面和面相交成线，线和线相交成点。3 线段的定义:直线上的两点和它们之间的部分叫做线段。4 线段的长度是指线段的两个端点之间的距离。一国以他年起合情最提次完科土织连消院听。弄清以上概念，问题就解决了！所以它们之间是没有矛盾的。 2024-05-15 5楼 回复 (0) 魅味酔用户 去理解“无穷”的意思，或哲学上的“量变发生质变”。因为数学也是哲学。 2024-05-15 6楼 回复 (0) 罗阳辉用户 我认为是没有矛盾的，因为线段就是由无数个点组成的，只是我们看不见而已。 2024-05-15 7楼 回复 (0) 邱玉龙用户 利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数.再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组数，就可求出概率.解答:解:显然共有1，3，5;1，3，7;1，3，9;1，5，7;1，5，9;1，7，9;3，5，7;3，5，9;3，7，9;5，7，9.共10种情况.根据三角形的三边关系:任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.其中能构成三角形的有3，5，7;3，7，9;5，7，9.三种情况，故概率是 .点评:注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 2024-05-15 8楼 回复 (0) 孤剑战圣用户 数学思想的重大进步就是区别“点集”和“空间”两个概念：通过定义点与点之间的距离（度规）概念，可以在点集上构造出空间。 2024-05-15 9楼 回复 (0) 吕炳桦用户 几何和数学是定义为基础的 2024-05-15 10楼 回复 (0)
在客观现实中，就不存在数学概念的点。不举线段点的例子，举一个三维的例子——奇点，说它比原子还小，但是再小也是有体积的。
数学中说“任何一条线段，无论它有多短，都是由无穷个点所组成的”，这句话，被提问题的老师理解错了，或者说这句话本身就不严格。应该这样理解或纠正这句话：1、任何一条线段中，点是客观存在的，它的客观意义在于把一条线段再分成二段。2、一条线段中，若有无穷个点，也是这无穷个点把线段分成无穷份（无穷大加一还是无穷大）。3、无穷个点把一条线段分成无穷份后，不是无穷个点之和等于这条线段的长度，而是所分成的无穷个小线段的和。（首）
（小石头尝试着回答这个问题）
回答：这并不矛盾！ 下面是详细分析。
在几何中，任何直线的性质都是一样的。于是，任取一根直线，为了区分其上的点，我们将每一个点和一个实数对应起来，这样就形成了（实）数轴。进而，自然而然，数轴上的一个线段，就对应 一个实数区间。
转布载或者级头引用本文整内容请注明北来源于芝士回答
如此以来，题主问题里，所谓没有长度的点，翻译成数学语言就是：
不面之然前相被增再例张布委划写亲快。
在数轴中任取一个点 x 对其长度进行测量，得到的长度 为 0；
所谓 有长度的线段，翻译成数学语言就是：
在数轴中任取一个区间 [a, b] 对其长度进行测量，得到的长度不为零；
而实点社间式几任保斗办，响团候斯江。
以上的关键，是我们有一个可以测量 点 和 区间 长度 的 工具，记为 μ。一个点 x 其实是一种特殊的区间 [x, x]，于是 μ 其实只要可以测量 区间的长度就行，即，任意给定 数轴上的 一个 区间 [a, b]，通过 μ 会可以得到 一个 长度，显然 μ 是一个以为区间为参数的 函数，可以定义如下：
μ([a, b]) = b - a
对于，任意一个点 x，有：
μ(x) = μ([x, x]) = x - x = 0
这符合一个点长度为 0 的要求。
另外，只有稍微对 μ 进行升级，我们也可以对 多段 独立的区间进行 测量：
μ([a₁, b₁] + [a₂, b₂] + ... ) = b₁ - a₁ + b₂ - a₂ + ...
其中 区间 [a₁, b₁]， [a₂, d₂]， ... 两两不相交。 升级后的 μ 称为 测度。
接下来，仔细观察 测度 μ ，就会发现它有两个特性：
μ 的值 总是 大于等于 0；
对于任意一列 相互独立的 区间 [a₁, b₁]， [a₂, d₂]， ...，有：μ([a₁, b₁] + [a₂, b₂] + ...) = b₁ - a₁ + b₂ - a₂ + ... = μ([a₁, b₁]) + μ([a₂, b₂]) + ...
实际上，只要符合上面 特性的 函数 都可以称为 测度。测度不仅仅是测量 区间（线段）长度，也可以是 测量 图形的面积、几何体的体积、物体的质量、 等。
测度的第一个特性称为 非负性，和问题关系不大，而 第二个特性称为 可列可加性，是问题的关键。
所谓“可列可加性”翻译成白话就是：对于一列的相互独立的区间，它们加起来的总长度等于各区间长度之和。
现实中，这是我们再熟悉不过的常识了：
将多个线段接起来，总线段的长度一定是各个线段长度之和；
将水和盐混合成盐水，盐水的质量 一定 是 水的 质量 加 盐的 质量；
积木搭建的建筑物的总体积，一定是所有积木体积之和；
也正因为题主有了这种常识，所以才提出本问题。问题翻译成数学语言为：设，非单点区间 [a, b] (a < b) 是由 点 a, x₁, x₂, ..., b 组成，即，
[a, b] = [a, a] + [x₁, x₁] + [x₂, x₂] + ... + [b, b] ①
于是，根据测度的可列可加性有：
μ([a, b]) = μ([a, a] + [x₁, x₁] + [x₂, x₂] + ... + [b, b]) = μ(a) + μ(x₁) + μ(x₂) + ... + μ(b) = 0 + 0 + ... +０ = 0
可以 根据测度的定义又有：
μ([a, b]) = b - a > 0
矛盾。
其实并不矛盾！这里的关键是 等式 ① 是不成立的。虽然 序列 a, x₁, x₂, ..., b 和 区间 [a, b] 都包括了 无穷多个点，但是 无穷多和无穷多 不一定一样。实际上， 一个区间 中包括的点 比一个序列 还多，多到无将这些点 排成一个列。由于 区间中的点 不能排成一列，于是 可列可加性 对于 区间中的点的组合 就无效了。
康拓儿 最早研究了 无穷集合 元素个数的问题：如果我们 可以找到 两个集合之间的 一个 一一对应的关系，则 这两个集合 的 元素个数 就相等。同时，康拓儿也最早证明了 (0, 1) 中点 比 自然数序列 中的点 多。
我们可以将自然数排成一列：
0, 1, 2, ....
于是和自然数一样多的集合中的元素 也都可以 排成 一列，称它们为 可列；而像区间这种 比 自然数多的，称为 不可列。
从另一角度看，我们知道 [a, b] 对应的线段是连续的，也就是说线段中不存在缝隙，我们无法再向 线段中 插入一个新的点。假如 我们可以将 [a, b] 中的点 排成一列，则就意味着我们可以 以 插队 的方式，向队列中，插入一个 新的点，这显然和 线段 不能插入新点的特性 矛盾。
结论：
只有可列个点的组合的长度才是零，不可列个点可以组成任意长度的线段。
估计看到这里的条朋友，很多依然不能 从直觉上 接受这个数学事实，我想那是因为，日常生活中，根本没有长度为 0 的点，所有这方面 大家的直觉是失灵的。
数学的点和线段不矛盾
♦数学的点
数学的点，任何定义都系无处着力而无效。它是无法被定义的。定义它，会陷入重复定义、反逻辑定义深渊。点相当于原始概念，具有原始概念性质。
科学系统对概念总要下定义，也定会用些已知概念来定义新概念，但概念有限。又由第二条规则可知，下定义必须遵循科学规律，不能恶性循环，总有概念不能引用别的概念来定义，这就叫科学体系中的原始概念。
转例载铁或者引五权用本文内容请中注明来源于芝士回答
♦6G世界由信道蓝光点联线成片
定义平行四边形为两组对边分别平行的四边形，必须先对四边形、平行以及对边进行定义。定义四边形时，应先对多边形及边进行定义，又必须先定义折线，故必须先对点和直线下定义。
是产法都本图山知况研便。
但一般初等几何中，点和直线都无法再用已被定义过的概念进行定义，它们都是原始概念。在数学中，点、直线、平面、集合，空间、数、量等都是原始概念。其中有些还是通过公理来直接描述的，虽然有些概念在中学课本中也有解释，但这种解释不算定义。
以发些党位文级接几，金联美集段且观连技。
♦水墨画晕点染
所以要看如何定义点。如果以宇宙为基地，那么地球就是一个浮尘那么微观的点，但是地球平均半径6500公里，1.3万公里大小恰如一粒纳米浮尘，这就是宇宙基地的点的定义。同理，量子相对分子原子而粒子点，蚂蚁相对人而粒子点，人相对地球而粒子点。
所以客观实在的点，是有长度的，而且还可大可小，但抽象数学形而上的点，却无长度，但理论上又规定无数的点，可以构成有长度量的线段和直线。所以你是怎么看？数学抽象世界真能囊括客观存在的现实吗？
点是很特殊的存在，他在数学的规定中没有长度，而线段是由无数多个点组成的，他就有长度了，无数多个点积少成多，构成了具有一定长度的线段，这是数学中的硬性规定。这是不矛盾的。
谢谢您的邀请！非常高兴为您回答问题！
这个并不矛盾。
1 在数学中，点是组成几何图形的基本元素，点没有大小，线没有粗细，面没有薄厚。
版手权归芝连士学回答网站青或原作者候所有
2 点动成线，线动成面，面动成体，也可以说，围成体的是面，面和面相交成线，线和线相交成点。
3 线段的定义:直线上的两点和它们之间的部分叫做线段。
4 线段的长度是指线段的两个端点之间的距离。
一国以他年起合情最提次完科土织连消院听。
弄清以上概念，问题就解决了！
所以它们之间是没有矛盾的。
去理解“无穷”的意思，或哲学上的“量变发生质变”。因为数学也是哲学。
我认为是没有矛盾的，因为线段就是由无数个点组成的，只是我们看不见而已。
利用列举法就可以求出任意三条线段可以组成的组数.再根据三角形三边关系定理确定能构成三角形的组数，就可求出概率.解答:解:显然共有1，3，5;1，3，7;1，3，9;1，5，7;1，5，9;1，7，9;3，5，7;3，5，9;3，7，9;5，7，9.共10种情况.根据三角形的三边关系:任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.其中能构成三角形的有3，5，7;3，7，9;5，7，9.三种情况，故概率是 .点评:注意分析任取三条的总情况，再分析构成三角形的情况，从而求出构成三角形的概率.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
数学思想的重大进步就是区别“点集”和“空间”两个概念：通过定义点与点之间的距离（度规）概念，可以在点集上构造出空间。
几何和数学是定义为基础的